目撃者もいなければ、お互いの言い分が全く違う交通事故ってどうなるの？

目撃者がいない交通事故はどうやって処理していくのでしょうか？

お互いの言い分が違う、違うどころか全く反対ということは結構あります。
どちらかが嘘又は勘違いをしているということになるのでしょうが、目撃者やドライブレコーダー等お互いの言い分以外に証拠がない場合は、真実は神のみぞ知るとなります。

その場合どちらの言い分を採用するのか。どちらがその事実を立証するのか、いわゆる立証責任の問題となります。
なんらかの請求する時、請求する側が、その請求する権利の存在を主張立証しないといけないというのが原則です。「貸した金返せ」と請求するときは、請求する側が、金銭消費貸借契約があったこと等を立証します。請求された人が、「金なんて借りてない」と立証するということになると、請求された人は大変です。金を借りていないことを立証するのは難しいです（金銭消費貸借契約がないことを示す書類なんてありません）から、請求する人が立証するとしなければ不公平です。そんなことしたら、架空請求が後を絶たないでしょう。だって、借りた人が借りていないことを立証できないですから、請求した者勝ちになりますもの。

さて、人身事故に話を戻すと、上記の原則でなく、自賠責法により、過失の立証責任は請求を受ける人（加害者）となっています。請求を受ける人（加害者）に立証責任を負担させることで、請求する人（被害者）を保護するためですね。ですから、請求を受ける側が、過失がないことの立証をする必要があります。