妻と子供を置いて夫が蒸発し音信不通。こんな状態でも離婚ってできるの？！

相手の同意を取ることができないこの状態でも、離婚できるのでしょうか？

相手が蒸発した場合でも離婚は出来ます。

法律上、離婚原因の一つとして「3年以上の生死不明」が規定されています。
生死不明とは生存も死亡も確認出来ない状態です。このケースでも、蒸発して妻の生死３年以上分からなければ離婚できます。もっとも、妻が生きていることは分かっているが現在の所在が分からない行方不明の場合には、３年以上の生死不明には該当しません。この場合でも別の離婚下人である「悪意の遺棄」や「その他婚姻を継続し難い重大な事由」に該当し離婚できる場合があります。

通常は、裁判所の調停を経なければ離婚訴訟を提起することはできませんが、生死不明や行方不明の場合、例外的に、調停を経ることなく離婚訴訟を提起することになります。
７年以上生死不明の場合には失踪宣告という制度を利用することもできます。失踪宣告により行方不明者は死亡したものとみなされ、婚姻関係は解消します。